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CRIADO EM: 09/04/2006
MODIFICADO EM: 09/04/2006

: MATEMÁTICA - DESVENDANDO FORMAS GEOMÉTRICAS - PARTE II


Maria da Penha Lopes

Atividade 5

Das afirmações a seguir, assinale com S (de sim) as que caracterizam a teoria de van Hiele e com N (de não) as que não a caracterizam:

a ( ) A teoria propõe que a aprendizagem de Geometria se desenvolve em níveis de compreensão.

b ( ) A teoria propõe que o professor apresente aos alunos grande variedade de experiências geométricas.

c ( ) A teoria propõe os conteúdos mínimos de Geometria a serem desenvolvidos no ensino fundamental.

d ( ) A teoria propõe que, em cada nível, o professor sugira atividades adequadas à maturidade do aluno.

e ( ) A teoria propõe um ensino de Geometria em que os conceitos são introduzidos por suas definições.

Vamos finalizar lembrando a você que o modelo dos van Hiele não deve ser encarado como mais uma metodologia de ensino a ser levada para a sala de aula sem uma reflexão. A teoria foi desenvolvida tendo como suporte o saber escolar e já começando com a observação das formas geométricas. Pelo menos é essa a impressão que temos, lendo os autores que comentam o modelo. Não aparece, por exemplo, em que medida a experiência pré-escolar do aluno pode interferir no modo de localizá-lo em um dos níveis. Aqui no Brasil, a população escolar é extremamente diversificada, quer se trate de alunos das redes públicas municipais, estaduais ou da rede particular, de alunos de curso diurno ou noturno, de alunos da zona rural ou da cidade. Não é possível aplicar a todos o mesmo modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico, o que, entretanto, não o invalida como referência para o ensino de Geometria.

De tudo que já falamos sobre Geometria, neste curso, de tudo que já ouviu falar sobre o ensino desse conteúdo, do que já leu sobre o assunto, da observação da relação de seus alunos com o conhecimento geométrico, do que eles já conheciam de Geometria antes de entrar para a escola, você concluiu, certamente, que o ensino de Geometria, nos anos iniciais do ensino fundamental, deve passar por três estágios: a observação, a experimentação e a sistematização/organização do conhecimento _ estágios não muito bem definidos, nem seguindo uma ordem muito rígida. Grosso modo, eles corresponderiam aos níveis 0, 1, e 2 do modelo dos van Hiele:

Observação do espaço sensível, da maneira como ele se organiza, do uso das formas naturais ou modificadas pelo homem, de semelhanças e diferenças, de estratégias de orientação nesse espaço.

· Experimentação com as formas, utilizando dobraduras, recortes, quebra-cabeças, material concreto: geoplano, diferentes tipos de embalagens, sólidos geométricos construídos com diferentes materiais (madeira, acrílico, canudinhos, papelão etc.).

· Sistematização/organização dos resultados obtidos ao longo dos dois estágios anteriores, com um resumo feito pelos alunos, complementado por você, fazendo uma revisão geral do conteúdo que foi tratado.


Fig. 32 _ Fonte: Bulloch, I. Formas. São Paulo: Studio Nobel, 1996, p.29

Seção 2: Formas Planas e Espaciais

Objetivo específico: estabelecer semelhanças e diferenças entre as formas planas e espaciais que levem à identificação de seus atributos definidores.

Até aqui, conversamos com você sobre o ensino de Geometria, com sugestões sobre o que ensinar, como ensinar e, analisando os níveis do modelo dos van Hiele, tecemos algumas considerações sobre como os alunos pensam. Nesta seção, vamos desenvolver alguns tópicos de Geometria que vão dar o embasamento teórico necessário ao desenvolvimento de suas aulas. Necessário, mas não suficiente. Você vai precisar complementar as informações dadas aqui com as informações contidas em outras obras indicadas nas referências bibliográficas ou livros de Geometria.

Do que conversamos sobre o ensino de Geometria, sugerimos passar da observação das formas no espaço sensível _ formas na natureza ou formas modificadas pelo homem _ à observação das formas no espaço geométrico _ formas regulares. Para facilitar essa passagem, sugerimos que você observasse semelhanças e diferenças entre as figuras geométricas, com o objetivo de identificar características comuns que levassem à definição da figura. Mas veja bem: a definição veio no final de todo um processo envolvendo a observação, primeiramente da forma como um todo, em seguida com a observação de regularidades, a comparação das formas umas com as outras, para depois, então, chegar aos atributos definidores.

O episódio citado a seguir ocorreu numa aula de Geometria de uma turma de 5ª série do ensino fundamental de uma escola pública de Belo Horizonte.

O professor mantinha com a turma uma aula dialogada, e a sua interação com os alunos era muito boa. Usando experimentação, os alunos haviam concluído que a soma dos ângulos internos de um triângulo era 180 º. O professor perguntou quanto era a soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Alguns alunos respondem que é 360 o, e Márcio pergunta se vale para todo quadrilátero. O professor diz que sim e pede que alguém prove tal afirmação. Miguel interfere dizendo que basta dividir o quadrilátero em dois triângulos, os quais têm 180 o cada um. O professor confirma e faz o desenho no quadro.

Atividade 6

Com o objetivo de provar aos alunos que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360o, o professor pede a Jair para desenhar um quadrilátero bem louco. Jair desenha a seguinte figura:

Com essa figura, Jair mostrou que entendeu a definição de quadrilátero? Se o pedido fosse feito a você, seria esse o quadrilátero que você desenharia? Justifique sua resposta.

Realmente, Jair desenhou uma figura "bem louca", uma figura não convexa que ele certamente não encontra muito representada nos livros. O mais comum é ele encontrar figuras convexas. O quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo são quadriláteros convexos. Para você reconhecer se um polígono é convexo, apóie uma régua sobre cada lado do polígono, como no desenho. Se o polígono ficar todo do mesmo lado da régua, e isso para todos os lados, então ele é convexo. Olhe o que acontece no desenho de Jair. Ele não é convexo.

Por que é importante ter a definição de um conceito geométrico ou matemático? Porque a definição resume o significado do conceito. Lembra-se da Atividade 3 da Seção 1 desta unidade? Você identificou semelhanças e diferenças entre quadrado, losango, retângulo e paralelogramo. Observando as regularidades, você percebeu que todos pertencem à classe dos paralelogramos e deu a cada um uma definição formal. Compreender um conceito geométrico é associar sua imagem/figura, sua representação mental e sua definição. Você, na interação com seus alunos, é responsável pelo desenvolvimento dessa compreensão.

Efraim Fischbein, da Universidade de Tel Aviv (Israel), no seu texto "A natureza psicológica dos conceitos", nos lembra que:

Durante os primeiros estágios do desenvolvimento intelectual, a inteligência das crianças é orientada concretamente. Os conceitos que eles são capazes de aprender, construir e manipular têm um significado concreto, prático. É a única maneira pela qual eles podem aprender os conceitos matemáticos também. Números e operações aritméticas elementares e figuras geométricas são, e devem ser, ensinados inicialmente relacionados a modelos concretos. (Fischbein, 1996:118).

A passagem do concreto (imagem/figura) ao abstrato (imagem mental), necessária à compreensão dos conceitos, é o grande desafio que você tem que vencer em sala de aula. Assim, você também tem que desenvolver sua capacidade de abstração, para ajudar seu aluno nessa passagem. Esse é o motivo que nos moveu no desenvolvimento desta seção e da Unidade 3 deste módulo.

Vamos ver como o mesmo professor da mesma turma de 5ª série citada usa o concreto para levar seus alunos a fazerem uma imagem de um conceito. A turma estava estudando os paralelogramos e o professor utilizou uma caixa de giz para levar uma aluna a rever seu conceito de retas paralelas.

Julgamos que seria interessante mostrar para você como ele fez isso, reproduzindo a conversa que ele teve com sua turma.

1 _ Professor: Marta, o que são lados paralelos?

2 _ Marta: São lados que não se cruzam. Aprendi no ano passado.

(O professor mostra a caixa de giz e os alunos dizem que é um paralelepípedo cujas faces são retângulos. O professor pede que falem sobre as características dos retângulos.)

3 _ Joana: Dois lados iguais.

4 _ Marcos: Quatro ângulos retos.

5 _ Professor: Quantos retângulos formam a caixa?

6 _ Todos: Seis.

7 _ Professor: Tânia, dê um exemplo de paralelepípedo em sua casa ou na sala.

8 _ Tânia: O armário.

(O professor pede que listem dez objetos que sejam paralelepípedos.)

9 _ Márcio: Caixa de sabão em pó.

10 _ Berta: Caixa de pasta dental.

11 _ Emília: Caixa de remédio.

(Todos querem participar, e quando alguém cita caixa de leite, o professor lembra que nem todas são paralelepípedos.)

12 _ Berta: Caixa de TV é quadrada.

13 _ Professor: Quadrada?

14 _ Todos: É um cubo.

15 _ Professor: Um cubo é formado por quantos quadrados?

16 _ Todos: Seis.

(Alguém mostra uma caixa de pasta de dentes, e o professor abre-a mostrando que obtém-se assim uma figura plana. Aproveitou para mostrar na caixa que existem retas que não se cruzam e não são paralelas.)

17 _ Professor: Márcio, o que é um vértice?

18 _ Márcio: É um ponto.

19 _ Professor: Todo ponto é vértice?

20 _ Márcio: Não. Vértice é um ponto de encontro de dois lados.

(O professor mostra uma face da caixa e pergunta o nome.)

21 _ Henrique: Face.

22 _ Professor: O que é aresta?

23 _ Márcio: É a interseção de duas faces.

(O professor mostra duas arestas reversas e pergunta se elas têm ponto em comum. Todos concordam que não têm ponto em comum e não são paralelas.)

Observe o papel do professor, como participante da conversa com seus alunos. Você considera que esse tipo de interação em sala de aula ajuda o aluno a chegar ao nível de abstração dos conceitos?

Atividade 7

No momento em que Marta responde, na fala 2, que lados paralelos são "lados que não se cruzam", o professor pega uma caixa de giz, com um objetivo que não explicita, mas que fica evidente na observação entre as falas 16 e 17 e na observação final.

O que o professor está tentando mostrar a Marta?

A caixa é uma representação do paralelepípedo. Ela tem arestas concorrentes, isto é, arestas que estão na mesma face e que se encontram; arestas paralelas, ou seja, que estão na mesma face e não se encontram, e arestas que são reversas, isto é, arestas que não são paralelas e não se encontram, pois elas não estão na mesma face.

Na conversa com os alunos, o professor, usando uma caixa de giz, incentivou-os a falar sobre Geometria, a abstrair o conceito geométrico e generalizar. O professor utiliza um vocabulário correto: vértice, aresta, face, arestas reversas, fazendo a distinção entre eles. O diálogo com Márcio, no final, é particularmente produtivo, culminando com a resposta deste aluno de que aresta é "a interseção de duas faces".

Você certamente observou quanto conhecimento geométrico permeia o diálogo:

· as faces de um paralelepípedo são retângulos;

· as características do retângulo;

· a diferença entre quadrado e cubo;

· no espaço existem retas que não se cruzam e não são paralelas;

· o vértice de um paralelepípedo é o ponto de encontro de três faces;

· as faces do paralelepípedo são retângulos;

· no paralelepípedo, a aresta é a interseção de duas faces.

A caixa de giz também é um ótimo modelo para o sólido que em Geometria se chama de poliedro. O poliedro é o conceito mais geral para todos os sólidos cujas faces são polígonos. O paralelepípedo, cuja representação é a caixa de giz, é um poliedro. O cubo é o poliedro mais simples. As pirâmides e os prismas são poliedros.

O poliedro é um sólido geométrico, limitado por polígonos. O polígono, neste texto, é entendido como formado pelos seus lados e sua região interior.

Observe que a definição de poliedro nos permite identificar, entre os sólidos, os que são poliedros e os que não são. As figuras anteriores são pirâmides e prismas. As pirâmides são sólidos que têm uma base poligonal e as faces laterais são triângulos que têm um vértice comum. Os prismas são sólidos que têm duas bases iguais e paralelas e as faces são paralelogramos.

Fig. 33 _ Fonte: Bulloch, I. Medidas. São Paulo: Studio Nobel, 1996, p.27

Atividade 8

Analisando a definição de poliedro e os exemplos dados nos desenhos, podemos dizer que os prismas e as pirâmides são poliedros? E os cilindros, cones e esferas? Justifique sua resposta.

A atividade seguinte é de caráter teórico. Algumas respostas você vai encontrar no diálogo que analisamos antes. Outras são generalizações para o poliedro do que foi dito para paralelepípedo. Se necessário, recorra à figura do poliedro e/ou ao Microdicionário de Matemática, de Imenes & Lellis (1999).

Atividade 9

A) Quais são as semelhanças e as diferenças entre um cubo e um quadrado?

B) O que são retas reversas?

C) O que são vértices de um poliedro?

D) O que são arestas de um poliedro?

Atividade 10

Na fala 20 do diálogo, Márcio dá uma resposta imprecisa, quando diz: "Vértice é um ponto de encontro de dois lados". O professor não percebeu a imprecisão.

Qual das alternativas abaixo melhor traduz a resposta que Márcio deveria dar?

a ( ) Vértice é o ponto de encontro de duas faces do paralelepípedo.

b ( ) Vértice é o ponto de encontro de dois lados do paralelepípedo.

c ( ) Vértice é o ponto de encontro de três faces do paralelepípedo.

d ( ) Vértice é o ponto de encontro de três lados do paralelepípedo.

e ( ) Vértice é o ponto de encontro de duas arestas do paralelepípedo.

Para terminar, gostaríamos de insistir na importância da abstração e da generalização para o aprendizado da Geometria. É assim que os alunos vão chegar às definições, às classificações e às relações entre as figuras geométricas.

É claro que no primeiro segmento do ensino fundamental o ensino deve ter um forte apelo ao concreto e ao experimental. Para isso, sugerimos identificar as formas geométricas nos objetos do mundo sensível. Entretanto, as atividades desenvolvidas, mesmo os jogos e quebra-cabeças, devem intencionalmente incentivar o aluno a justificar suas afirmações, fazer abstrações e buscar generalizações.

O modelo físico é sempre uma representação grosseira do conceito geométrico. Você, pelo menos, tem que saber disso, apesar de continuar mostrando para os alunos representações dos entes geométricos. Por exemplo: para dar uma idéia aos seus alunos do que é uma reta, você estica na frente deles um cordão. Você já reparou no cordão? Ele é irregular, ora mais fino, ora mais grosso, com fiapos sobrando. Agora imagine uma reta. Ela é homogênea, todos os pontos são iguais; ela é "esticadinha", lisinha, perfeita.

Conclusão

Nesta unidade, que só teve duas seções, refletimos juntos sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos e sobre como o professor pode ajudá-los nisso. Vimos também, analisando um episódio de sala de aula, como um professor, utilizando uma caixa de giz como objeto provocador, leva seus alunos a inferirem alguns conceitos relativos tanto à forma espacial representada pela caixa, o paralelepípedo, quanto às formas planas, suas faces.

O modelo desenvolvido por Dina e Pierre van Hiele é uma boa referência para o ensino de Geometria e vai alertá-lo para alguns cuidados na escolha de atividades adequadas ao conhecimento do aluno e na introdução do vocabulário geométrico. Entretanto, você deve analisá-lo com o espírito crítico de alguém que tem uma prática de ensino em que se apoiar. Além disso, antes do contato escolar do aluno com a Matemática, objeto da pesquisa, ele tem toda uma experiência com a exploração do espaço, que não pode ser negligenciada em sala de aula. Experiências diferentes vão acarretar níveis diferentes de desenvolvimento.

Na segunda seção, comentamos um episódio de uma aula de 5ª série do ensino fundamental, no qual observamos o professor assumindo o papel de participante na discussão com os alunos. Com uma caixa de giz, o professor quer mostrar à aluna Marta que a caixa _ que é uma representação de um prisma reto de faces retangulares ou um paralelepípedo _ possui arestas que não se cortam e não são paralelas. Ainda utilizando a caixa, ele explora outras características do paralelepípedo e chama a atenção para suas faces, que são figuras planas.

Não observamos esse professor assumindo o papel de comentador, ou seja, ele não falou com os alunos sobre o conhecimento geométrico que perpassou sua conversa com eles. Faltou uma reflexão sobre esse conhecimento, uma organização, uma sistematização das definições e das relações que apareceram. Por exemplo: faltou explicitar a diferença entre cubo e quadrado, a definição de retas reversas, assim como faltou extrapolar e falar sobre prismas, pirâmides e poliedros.

 

Fonte

Este texto faz parte do Projeto Veredas, Módulo, 3, v. 2

 

Veja também:
Desvendando Formas Geométricas - Parte I
Desvendando Formas Geométricas - Parte III
Desvendando Formas Geométricas - Resposta