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Modelagem e resolução de dois problemas do 2º grau

CRIADO EM: 17/10/2006
MODIFICADO EM: 17/10/2006

Eixo Temático II:
Álgebra
Tema 2:
Equações algébricas
Tópico 12:
Equações do segundo grau


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Objetivos:

Modelar, equacionar, resolver e discutir duas situações problema envolvendo equações do 2º grau.

Providências para a realização da atividade:

É recomendável a  leitura da OP 12 – Equações do 2º grau.

Cópias (ou lâminas para retroprojetor) contendo o enunciado dos dois problemas:

Problema I: O proprietário de um terreno retangular quer construir um muro em volta desse terreno cuja área é de 1200m2 e cujo perímetro é de 160 metros. Ao fazer o orçamento, verificou que, pelas características do local , o preço por  metro linear de muro construído nos lados menores do terreno é de R$ 10,00 e nos lados maiores R$ 15,00. Nessas condições, quanto custará a construção do muro?

Problema II: Em um pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que, devido à competição por nutrientes no solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Nessas condições determine o número de laranjeiras no pomar para uma produção anual de 20.000 laranjas.

Pré-requisitos:

Familiaridade com a linguagem e as operações algébricas.

Resolução de uma equação do 2º grau.

Descrição dos procedimentos:

  1. Dividir a turma em grupos e apresentar os problemas aos grupos.
  2.  Sugerir aos grupos que discutam o problema I e procurem uma estratégia para resolvê-lo.
  3. Acompanhar as discussões de cada grupo orientando-as com sugestões apresentadas na forma de perguntas tais como:
  • Quais são os dados do problema?
  •  O que o problema está pedindo?
  •  O que é preciso calcular para responder a pergunta formulada no problema?
  • Faça uma figura do terreno e represente um dos lados por x. Nesse caso, como relacionar a medida do outro lado com o perímetro do terreno?
  • Como relacionar o que é preciso calcular com os dados do problema?
  • É possível resolver o problema para um caso particular? (por exemplo: se um dos lados medir 10 metros qual será a medida do outro lado?)
  1. Se ainda assim os alunos não conseguirem perceber como continuar, sugerir que eles se concentrem na determinação das medidas do terreno para depois cuidar do preço da obra.
  2. Tendo como foco o cálculo das medidas do terreno sugerir que eles procurem relacionar os dados área e perímetro tendo como referência figuras de retângulos com medidas satisfazendo as condições dadas e organizem esses dados completando uma tabela com o seguinte formato:

Lado a

Lado  b

Área a x  b

5

80    5

5 (80 – 5)

9

80    9

9 (80 – 9)

...

...

....

x

 

 

 

6.      Observar que é importante a explicitação das operações que aparecem em cada uma das colunas da tabela, pois a regularidade das expressões obtidas indicará a “fórmula” que relacionará  os dois lados do retângulo com a sua área.

 

  1. Obtida a equação x (80 – x) =1200, pedir aos alunos que a resolvam e concluam a resolução do problema.
  2. Aproveitar a oportunidade e explorar o problema destacando, por exemplo, os seguintes aspectos:
    1. O crescimento e decrescimento  da área  A =  – x2 + 80 x  em função da medida x de um dos lados.
    2. Ilustrar essa variação com figuras de retângulos.
    3. Orientar os alunos para que eles concluam que o retângulo de maior área será o quadrado satisfazendo as condições do problema.
    4. Associar esse problema ao problema clássico de determinar dois números dos quais se conhece a sua soma e o seu produto.
    5. Associar esse problema ao fato de que se x1 e x2 são raízes de uma equação ax2 + bx + c =0 então  x1 + x2   e   x1 x2 = .

9.      Esgotada a exploração do problema I propor aos grupos que discutam e procurem uma estratégia para resolver o problema II.

  1. Acompanhar as discussões de cada grupo orientando-as com sugestões apresentadas na forma de perguntas tais como: Quais são os dados do problema? O quê o problema pede? Qual será a incógnita? Como relacionar a incógnita com os dados do problema? É possível resolver o problema para um caso particular?(por exemplo, para 2 novas laranjeiras plantadas, quantas laranjas seriam produzidas? Para 3?) A solução do  problema para o caso particular sugere alguma relação entre os dados e a incógnita?Vocês viram, no problema anterior, como uma tabela ajudou a encontrar a solução. Que tal fazer uma tabela para esse problema?
  2. Se, depois de um tempo razoável, as dificuldades dos grupos persistirem, sugerir que eles preencham a seguinte tabela:

Nº de novas laranjeiras

Soma das laranjeiras existentes mais as novas laranjeiras plantadas

Nº de laranjas produzidas por laranjeira

Total de laranjas produzidas pelo laranjal

0

30 + 0

600 − 0 x 10

(30 + 0) x 600

1

30 + 1

600 – 1 x 10

(30 + 1) x (600 – 1 x 10)

2

 

 

 

3

 

 

 

...

 

 

 

n

 

 

 

12.  Observar que é importante a explicitação das operações que aparecem em cada uma das colunas da tabela, pois a regularidade das expressões obtidas indicará a “fórmula” que relacionará  o número n de laranjeiras a  plantar com o total de laranjas produzidas.

13.  Depois que os grupos se convencerem que a equação relacionada com o problema é  –10 n2 + 300 n +18000 = 20000  propor que eles a resolvam e analisem as soluções encontradas.

14.  Discutir os resultados das análises e aproveitar, dependendo do nível da turma,  a oportunidade para explorar, por exemplo, as seguintes questões:

a.      O crescimento e decrescimento da quantidade de laranjas produzidas em função do número de novas laranjeiras plantadas. ( A tabela pode ajudar nessa análise)

b.      A existência de um número de novas laranjeiras que dá o máximo de laranjas produzidas pelo laranjal.

c.      Quais condições (não explicitadas no problema) levariam o agricultor a optar por uma das duas soluções encontradas para o número de laranjeiras a plantar.

Possíveis dificuldades:

Alguns grupos podem ser mais lentos que outros na execução das tarefas. O professor deve ser paciente, evitando apressá-los com sugestões mais diretas que os impeçam de obter as conclusões por si próprios.  Pode ser interessante o professor solicitar aos alunos dos grupos que já resolveram o problema que auxiliem os colegas que ainda não o fizeram.

No problema I, pode acontecer de algum grupo explicitar a medida de um dos lados do retângulo partindo do produto x.y = 1200. Sendo esse o caso, o professor deve comentar que esse caminho também é correto, mas traz o inconveniente de dar origem a uma equação fracionária, que provavelmente, os alunos não conheçam (Equações fracionárias não constam do CBC). Dependendo do nível da turma vale a pena avançar nessa discussão.

Alerta para riscos:

Não Há

Glossário:

Não Há


Roteiro de Atividade: Modelagem e resolução de dois problemas do 2º grau
Currículo Básico Comum - Matemática Ensino Fundamental
Autor(a): Prof.: Carlos Afonso Rego. Colb.:Profas. Ângela M. Vidigal e Maria das Graças G. Barbosa
Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG/2006