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Proposta Curricular - CBC

Ciclo da Alfabetização - Fundamental - Ciclos

CRIADO EM: 15/07/2008
MODIFICADO EM: 15/07/2008


Multiplicação e Divisão - Parte 1

                                                                                                  


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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

 

 

.INÍCIO DE CONVERSA

 

 

Ao passo que as situações envolvendo adição e subtração são muito presentes no cotidiano das crianças, as que envolvem multiplicação e divisão ocorrem com menos freqüência.Talvez, por serem operações mais complexas e não se encaixarem habitualmente em contextos infantis. Por outro lado, quando uma situação insere ação multiplicativa a criança costuma resolvê-la pela adição, tornando a resolução bem mais simples. E é por essa conexão com a adição que a multiplicação, geralmente, é introduzida nas atividades escolares, pois  a maioria dos professores costuma privilegiar a multiplicação como uma forma mais rápida de realizar adições repetidas.

 

Multiplicação e  divisão não devem ser consideradas, apenas, como outras operações diferentes que os alunos devem aprender. Essa visão se restringe à constatação de que elas constituem uma extensão do trabalho iniciado com adição e subtração. No entanto, compreender multiplicação e divisão representa uma transformação qualitativa importante no pensamento da criança.

Certamente, há continuidade no entendimento desses grupos de operações, já que um dos significados da multiplicação é o de adições repetidas; mas, há descontinuidades importantes que o professor precisa ter em mente para entender o percurso do aluno em direção a uma compreensão plena da multiplicação e divisão.

Como afirma NUNES & BRYANT, o raciocínio aditivo se refere a situações nas quais os objetos são reunidos ou separados. Todos os significados que essas operações envolvem e todos os sentidos de números em situações aditivas estão diretamente relacionados ao tamanho do grupo e às ações de unir e separar objetos e grupo.

As situações que requerem raciocínio multiplicativo são diferentes por não envolverem ações de reunir e separar. Os números inseridos em uma estrutura multiplicativa ganham um novo sentido relacionado à natureza diferente que cada um deles expressa. Em 4x5, o número 4 pode indicar “quantas vezes” é considerado o 5; a multiplicação pode ser interpretada como proporcionalidade: se 1 vale 5, qual será o valor de 4? Observe-se que os números têm significados diferentes conforme o contexto, embora a relação constante de 1 para 5 permaneça.   

Portanto, para que o professor possa planejar de maneira adequada e eficiente as situações de ensino e aprendizagem faz-se necessário conhecer os diferentes significados da multiplicação e divisão, os sistemas de sinais e situações que estão conectadas aos conceitos dessas operações, bem como os novos sentidos de números envolvidos no raciocínio multiplicativo.

 

 

..SIGNIFICADOS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

 

É senso comum no contexto escolar que a adição deve ser ensinada antes da multiplicação que é mais difícil e, também porque a adição conduz à multiplicação, já que alguns aspectos da primeira operação formam a base da segunda. Essa idéia está ligada ao significado da multiplicação no campo dos números naturais, como adição abreviada de parcelas iguais ou adições repetidas. Esse significado é o que está mais presente nas situações iniciais de aprendizagem. É interpretado como repetição de grupos iguais numericamente, ou, ainda como o número de vezes que um fato ocorre. Por exemplo: 5 notas de 2 reais = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10;   4 lápis em cada uma de 3 caixas  equivale a  4 + 4 + 4 = 12;  fiz  3  pontos  em  cada  uma   de   6  jogadas corresponde a  3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18.

Uma outra situação simples é aquela em que há correspondência um-para-muitos. Essa relação aparece inserida em situações de vida da criança, das quais podemos exemplificar: 1 mão tem 5 dedos (1 para 5);1 bicicleta tem 2 rodas  (1 para 2);1 cadeira tem 4 pés (1 para 4). Existem algumas continuidades entre estas situações multiplicativas e situações aditivas: se 1 mão tem 5 dedos, 3 mãos têm 5+5+5, ou seja, 15 dedos. No entanto, há diferenças de grande importância.

Uma delas é a relação de um-para-muitos que é constante; ela é invariável e este tipo de invariável não existe no raciocínio aditivo. Dois carros têm 8 rodas porque 1 carro tem 4. O número 4 é a relação constante, ou seja, a invariável. A relação estabelecida por essa correspondência é a base para o conceito de proporção. A multiplicação, portanto, envolve o significado de proporcionalidade.

 

A idéia de proporcionalidade conduz a uma outra diferença em relação ao raciocínio aditivo: as ações usadas para conservar uma proporção constante não são ações de reunir ou separar, mas são as de replicação, assim denominadas por NUNES & BRYANT (1997: 144). Replicação, conforme esses autores,

não é como unir , em que qualquer quantidade pode ser acrescentada a um conjunto. Replicar envolve somar a cada conjunto a unidade correspondente para o conjunto, de modo que a correspondência invariável um-para-muitos seja mantida.”  

Se 1 quilo de arroz custa 2   reais,  a   proporção  é   de  1 para 2,  o  que  permite  concluir  que  é, também,  de   2 → 4,  de  3 → 6,  de  4 → 8,........

Ainda outra diferença se manifesta ao considerar um novo sentido de número identificado como número de vezes que uma replicação é efetuada. Na  relação  1 → 3   e 7 → 21, o 7 indica  “quantas vezes” ou quantas replicações foram realizadas, e é denominado fator escalar. Ele não se refere a número de objetos, mas, ao número de replicações; então, tem natureza diferente do número indicativo de quantidade. No algoritmo, a invariável é chamada multiplicando e o fator escalar, multiplicador.

Quando o aluno resolve situação-problema em que considera uma receita culinária e deve triplicá-la, ele vivencia estas relações descritas. Se na lista original dos ingredientes constar 3 ovos e 2 xícaras de açúcar, a receita triplicada deve ter 9 ovos e 6 xícaras de açúcar. A proporção foi mantida considerando 3 como fator escalar.

 

A combinatória é outro significado da multiplicação. Quando se associam todos os objetos de um grupo a todos de um outro, o número de pares obtidos corresponde ao produto, como no exemplo: “com 3 tipos de frutas (laranja, manga e abacaxi)  combinados com 2 tipos de legumes (cenoura e beterraba) quantos sucos de sabores diferentes podem ser feitos?” O resultado são 6 tipos de sucos o que equivale a 3 x 2 = 6. Este tipo de situação chamado de problema de produto cartesiano é considerado difícil. Por que? Primeiro, o problema envolve dois grupos básicos – frutas e legumes -, mais um terceiro grupo – sucos. O número de sucos é identificado pela combinação de cada elemento em um grupo básico (frutas) com cada elemento do outro grupo básico (legumes). Segundo, a correspondência um-para-muitos não é descrita explicitamente na situação. Deve o professor orientar o raciocínio do aluno de modo a perceber que, para cada fruta, há dois tipos de legumes possíveis de serem combinados para produzir  dois sucos diferentes, e para cada legume há três tipos de frutas disponíveis para a combinação. É, portanto, uma correspondência de 1 para 2 de acordo com a primeira interpretação; se são 3  frutas, a  correspondência  se  mantém: 2 para 4 e 3 para 6. Conforme a segunda interpretação, a proporção é de 1 para 3; se para 1 legume há 3 frutas a combinar de modo a produzir 3 sucos diferentes, para 2 legumes são 6 possibilidades de sucos.

 

 É um raciocínio abstrato para uma criança; por isso é recomendável o uso de recursos facilitadores, como os materiais concretos para resolver situações, como esta: de quantas maneiras diferentes posso combinar 3 shorts com 4 blusas? Podendo manusear 3 recortes de shorts e de 4 blusas, o aluno vai realizando as combinações. Assim, aos poucos consegue construir estratégias para solucionar problemas eliminando gradativamente a necessidade de materiais concretos.

 

Um outro significado está relacionado às situações associadas à configuração retangular.

Um exemplo para esse caso pode ser: “numa garagem   podem estacionar  6 carros por  fileira; quando há 4 fileiras completas quantos carros estão estacionados?”

 

    

 

 

 

  

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A representação na malha quadriculada permite destacar os 6 carros dispostos em 4 fileiras o que leva à multiplicação 4x6, ou seja, 4 grupos de carros enfileirados 6 a 6 perfazendo 24 carros.  

A compreensão deste significado da multiplicação facilita a resolução de problemas que envolvem o cálculo da área que surgirá mais tarde quando o aluno estiver trabalhando com as medidas de superfície.

Observe que a representação da multiplicação na malha resulta na configuração de um retângulo; se for interpretado numa posição indica um fato básico, como no caso acima: 4x6=24; se o aluno virar a folha passa a ver 6x4=24. A forma desenhada pela representação de alguns produtos é a de um quadrado, por exemplo 25 (5x5), 9 (3x3), 64 (8x8), 91 (9x9). Virando a folha em qualquer posição a multiplicação indicada é a mesma.

 

 

                                                                                              FLASH DE SALA DE AULA

 

 

                                   Sueli propôs duas situações-problema para seus alunos de sete anos.

              

                                               A primeira delas envolvendo uma ação multiplicativa combinátória:

                               João foi à sorveteria e viu que tinha sorvetes  de creme, de limão e  de  nozes

                               e duas coberturas, de chocolate  e de  morango.De  quantas  maneiras  diferentes

                               João pôde combiná-los, escolhendo de cada vez  um sorvete e  uma cobertura?”

 

                                               A outra envolvendo uma representação esquemática retangular:

                               “No teatro da escola, há 8 fileiras de cadeiras.Em cada fileira, há 7 cadeiras.

                               Quantas são as cadeiras desse teatro?”

 

                                               Após ler e discutir cada situação, os  alunos  procuraram  a  solução, cada

                               um utilizando os recursos de que dispunha: contagem, desenhos e até registros

                               operatórios.

 

                                      Quando todos terminaram, Sueli conversou com a turma sobre as possibilidades

                               de resolução das situações  apresentadas. Alguns  alunos  foram  ao  quadro para

                               demonstrar e explicar o raciocínio usado.

 

 

Observe a resolução deste aluno:

O raciocínio usado por esse aluno não atingiu a compreensão das possibilidades de associação dos elementos dos dois grupos na proporção de 1 para 2 considerando duas coberturas para cada

 

sorvete. É uma interpretação difícil para crianças pequenas. Esse aluno apenas cobriu o sorvete de creme com chocolate e os de nozes e limão com morango. Na resolução do segundo problema ele demonstrou uma técnica mais apurada, chegando a registrar as adições e dar o resultado correto, que deve ter obtido pela contagem.

 

A primeira resolução representada abaixo evidencia um raciocínio correto,  representado de uma forma clara e simples, enquanto a segunda não expressa claramente as combinações. No entanto, ambas, as alunas  deram resposta correta à questão colocada no primeiro problema.

Veja como esta aluna solucionou, assim, a segunda situação-problema: